Mehmet Zeki Çelik, 17 Şubat 1997 Bursa doğumludur. Futbol kariyerine henüz 11 yaşındayken Yavuz Selimspor takımında başlayan Zeki Çelik, 1 yıl burada top koşturduktan sonra 2009 yılında Bursaspor’a transfer olmuştur. 2015 yılına kadar takımın alt yapısında forma giyen Zeki Çelik, 2015-2016 sezonunda bir yıllığına Bursa Nilüfer takımına kiralanmıştır.

2016 yılında İstanbulspor tarafından 1 milyon 250 bin euro bedelle bonservisi alınan Zeki Çelik, 2 yıl sonra Fransız Lille kulübü tarafından keşfedilmiş ve 2 milyon 500 bin euro bedelle transfer edilmiştir.

Sağ bek mevkisinde forma giyen 1,80 boyundaki Mehmet Zeki Çelik, sağ ayağına hakimdir.